A teoria do “hotel infinito” é uma concepção paradoxal criada pelo matemático alemão Georg Cantor para ilustrar a natureza do infinito. O exemplo do hotel infinito é frequentemente usado para explorar os conceitos de cardinalidade e infinitude.
O paradoxo do hotel infinito é baseado em um hotel com um número infinito de quartos numerados consecutivamente, do quarto 1, 2, 3 e assim por diante. Agora, imagine que o hotel está completamente ocupado, com cada quarto sendo ocupado por um hóspede. Se um novo hóspede chegar ao hotel e desejar um quarto, mesmo que todos os quartos estejam ocupados, o gerente do hotel pode acomodar o novo hóspede sem expulsar nenhum dos hóspedes existentes.
O gerente pode fazer isso movendo o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 para o quarto 3, e assim por diante, liberando assim o quarto 1 para o novo hóspede. Esse processo pode continuar indefinidamente, mesmo que o hotel esteja completamente ocupado.
Essa situação paradoxal ocorre porque a noção de infinito na matemática é diferente das nossas intuições baseadas na experiência cotidiana. O conjunto dos números naturais (1, 2, 3, …) é infinito e possui uma propriedade peculiar em que é igual a uma parte de si mesmo (por exemplo, os números pares: 2, 4, 6, …). Essa propriedade permite que o hotel infinito acomode um número infinito de hóspedes adicionais, mesmo que já esteja ocupado.
O exemplo do hotel infinito é frequentemente usado para explorar as propriedades da infinidade e as diferentes noções de tamanho infinito em matemática. Ele ilustra como o infinito pode se comportar de maneiras contraintuitivas e desafia nossa compreensão convencional do mundo finito ao nosso redor.
